ождение релаксационного спектра. Получив тем или иным способом функцию отклика изучаемой системы в «пространстве изображений» F(p), необходимо выполнить следующую операцию — определить параметры релаксационного спектра. В «пространстве оригиналов» эта операция сводится к разложению временной функции на сумму экспонент, в «пространстве изображений» ей соответствует разложение функции F(p) на сумму дробно-рациональных функций (3).

В некоторых случаях целесообразно рассматривать релаксационную характеристику системы не как сумму экспонент, а как сумму функций, дополняющих экспоненты до единицы,

y(t) — y(0) =Sfli[l-exp(-a,0]. (И)

Фактически это выражение вполне эквивалентно (1), но в отличне от последнего не требует дополнительного соблюдения условия у(0) = =—Лай В преобразованной форме выражению (10) соответствует:

Т(Р) - У{0) = 2 т-^—- (12)

р + aj

Надо заметить, что вследствие иеортогональности экспоненциальных функций практически любая процедура разложения оказывается не очень эффективной. Это замечание относится и к преобразованной функции.

Простейший способ разложения функции отклика — графический. В логарифмических координатах дробно-рациональная функции а(р+ +а)—1 изображается в области больших значений р наклонной прямой, а в области малых значений р — горизонтальной линией. Эти две прямые плавно переходят одна в другую, а точка пересечения линий, продолжающих эти прямые, соответствует величине а. Сумма дробно-рациональных функций изображается линией с несколькими перегибами; каждый из них соответствует одной из составляющих функций.

Графический метод разложения суммы дробно-рациональных функций вполне аналогичен графическому методу разложения суммы экспонент, и ему свойственны те же недостатки. В частности, он применим только в том случае, если отдельных функций немного, а их значения а< значительно между собой различаются.

В качестве более эффектинной процедуры может быть рекомендована следующая. Пусть известна (из эксперимента) функция F) = F(pj) при ряде дискретных значений pj, заданном как последовательность членов геометрической прогрессии: pj=Pi6J, где 6. — шаг (множитель) изменения переменной. Полагая, что функция F(p) является суммой дроб-но-рациоиальиых функций, будем решать систему алгебраических уравнений: = (13) где (а}) — матрица-столбец значений амплитуд; (F}) — матрица-столбец значений функций F(p); (ftj,л)—квадратная матрица коэффициентов, определяемых следующим образом: (ftj, л) = Л)-1; / — номер строки, h — иомер столбца.

Если функция F(p) выражается в форме (3), то вместо матрицы (bj,h) должна быть взята транспонированная матрица (bj,h). Элементы транспонированной матрицы: (bj, л) = (1-г-р>Л-->)— К

(Заметим, что в матрице (bj, л) в каждой из диагоналей все элементы одинаковы. В частности, элементы главной диагонали равиы 1/2.)

Если константа скорости экспоненциального процесса совпадает с одним из значений р), то при решении системы (13) будет получено единственное значение а,, отличное от нуля и соответствующее амплитуде экспоненты. Таким образом, параметры процесса — его амплитуда и константа скорости — будут полиостью определены. Однако такое совпадение может быть только случайным, а при нескольких экспонентах—и маловероятным.

Как правило, значения констант скоростей не будут совпадать с заданными дискретными значениями р). В таком случае при решении системы (14) получается множество осциллирующих значений амплитуд Oj. Появление этих «паразитных» осциллирующих решений является естественным «возмущенным» ответом на невыполнимые требования. Амплитуды «паразитных» решений возрастают при уменьшении шага (Р), а также при расположении истинного решения вблизи середины интервала между ближайшими заданными значениями pj. «Паразитные» решения эффективно элиминируются искусственным приемом усреднения по соседним интервалам:

а* = «i + («j-i + aj+i). (14)

При проведении этой операции все осциллирующие решения практически полностью исчезают, а основное решение сохраняется. Отрицательным последствием операции усреднения является расширение области решения.

Заключительной фазой процедуры нахождения параметров релаксационного спектра является уточнение решения. Картина, получаемая при выполнении операции усреднения, дает возможность достаточно точно (с точностью до долей интервала между дискретными значениями pj) определить истинные значения сн, т. е. решить первую половину задачи— нахождение констант скоростей релаксационного спектра. Теперь повторно решается система уравнений, подобная (13), но сильно редуцированная. В ней сохраняется столько уравнений, сколько значимых экстремумов осталось после выполнения Операции усреднения:

(ai)(bt,k) = (Ft). (15)

Здесь индексы i и k — порядковые номера компонентов релаксационного спектра («, k=l, 2, 3...) и одновременно номера строк ц столбцов квадратной матрицы (bif h) соответственно. Элементы матрицы определяются через значения констант скоростей;

или через значения j и h, соответствующих этим константам,

bi,k= (1 +Р'-")-1. (17) При этом значении / и h могут быть нецелыми. Здесь следует сделать некоторые замечания практического характера. Важное значение имеет рациональный выбор шага (множителя) В. Если множитель В велик, т. е. функция t'(pi) задана с большим шагом, то система уравнений (13) решается сравнительно легко, ио при этом велика неопределенность оценки значений а<. При малых значениях 6 возрастает трудоемкость решения системы уравнений (13) и повышаются требования к его точности. При этом может быть увеличена точность определения значений Oi, но одновременно сильно возрастают осцилляции первоначального решения, и операция усреднения может стать недостаточно действенной. Практически можно рекомендовать на выбор значении В из следующего ряда: К)1'3; 2; 10'/*; Ю1'5; 2'/2; lO1"; 10'/10. При высокой точности исходных данных можно использовать более дробные шаги аргумента, при малой точности это целесообразно и лучше пользоваться большими значени