, но и благодаря тому, что разные семьи в силу генетических и социологических причин могут иметь различные величины р. Поэтому предпочтительнее оценивать значение р по отношению ко всей популяции.

Для больших чисел довольно трудно использовать эту формулу для вычислений. Для этого случая формулу биномиального распределения упростил Гаусс. Гауссово распределение используется как обобщение биномиального распределения в случае, когда числа настолько велики, что распределение можно рассматривать как непрерывное, а не считать его функцией дискретных переменных. Переменными гауссова распределения, заменяющими мир, являются среднее популяции, или математическое ожидание (т), и среднеквадратичное отклонение (а). Формула имеет вид

Р

х

1 Q— (х—т)2/20-2

V2na

В этой формуле непрерывная величина (х) заменяет целую положительную переменную (г). Это распределение, подобно биномиальному, можно использовать для оценки двух указанных параметров (т и а) по имеющимся данным. Гауссово распределение называют также нормальным распределением частично из-за его симметричности относительно среднего.

Для данных, подчиняющихся гауссову распределению, оценкой среднего называют величину х=Ъх!п, а оценкой среднеквадратичного отклонения называют величину s, выражаемую формулой

В этом случае к.в. определяется как s/x.

Распределение Пуассона представляет собой другое предельное распределение для биномиального. Оно применимо, когда п очень велико, а р очень мало, но произведение п-р конечно. Лучшей оценкой произведения п-р является N, т.е. наблюдаемое число конкретных событий. Распределение Пуассона применимо, например, если мальчики встречаются очень редко (скажем, 1 на 10 000), но семьи очень велики (скажем, 100 000 детей). Тогда средняя семья будет иметь N— 10 мальчиков при среднеквадратичном отклонении:

л Vp{l—p)/n—Vn (N/n) (1 —N/n) =

= /10000.(10/10000) (1 — 10/10 000) = 3,1621.

Упрощение Пуассона применимо в предположении, что Njn<^\. Тогда формула для биномиального распределения упрощается до однопараметрического распределения.

р е~т-тг

для которого наилучшей оценкой среднего будет m=N) а наилучшей оценкой среднеквадратичного отклонения будет УА/. Следует обратить внимание на незначительное отличие этой величины от биномиального распределения, поскольку yiO = 3,1623 мало отличается от 3,1621. Отметим, что пир вновь заменяются другими символами, в данном случае одним символом т. Важным моментом является то, что подсчет числа дискретных объектов не только дает наилучшую оценку среднего

значения (т. eJ_A/ = x~m), но также оценку точности этой оценки (yN~sc^a).

Следовательно, при подсчете объектов не имеет значения, как они подразделяются. С точки зрения статистики Пуассона 2 параллельные чашки с 200 колониями в каждой не лучше и не хуже для счета, чем одна чашка с 400 колониями. В обоих случаях среднеквадратичное

отклонение (s) измерения равно ^400=20, а к.в. равен

У400/400=5%. Поэтому для получения наилучшей оценки в группе чашек из одинаковых и различных разведений одной и той же суспензии лучше всего просто сложить количество колоний на всех чашках и разделить его на общий объем исходной суспензии. Среднеквадратичное отклонение составляет квадратный корень из общего количества колоний, поделенного на объем суспензии, внесенной во все чашки.

Для примера рассмотрим две пары чашек, засеянных разведениями 10~5 и Ю-6 и количествами выросших колоний 534 и 580 и 32 и 60 соответственно. Общее количество колоний равно 1206. Если для посева в одну чашку использовали по 0,1 мл разведения, то общий объем исходной культуры составляет 2,2-10~6 мл. Следовательно, наилучшей оценкой концентрации является величина 1206/2,2-10~6 = 5,46- 108/мл, а среднеквадратичное отклонение равно уГ206/2,2 • 10~6 = ±0,16 • 108/мл.

В данном случае рассмотрение результатов двух раз

личных разведений отдельно, а не совместно оправдано тем, что мы хотели избежать больших ошибок. Сравнивая результаты для различных уровней разведения, получают некоторые оценки разброса из-за дополнительного разведения суспензии с помощью пипетки и других источников ошибок, которые не учитываются при расчете ошибки по Пуассону. Если этот разброс представляет интерес, его можно измерить более прямо с помощью независимых разведений одной и той же клеточной суспензии. Допустим, что в каждую из серии 12 чашек внесено по 0,1 мл независимо приготовленных разведений 10~5 исходной суспензии; после инкубации в чашках выросли следующие количества колоний: 534, 580, 760, 643, 565, 498, 573, 476, 555, 634, 514, 694. Их сумма равна 7026, а среднеквадратичное отклонение по Пуассону равно У7026 = 83,8. Среднее этих чисел равно 585, а среднеквадратичное отклонение по Гауссу составляет ±81,2. Расчет количества бактерий в исходной суспензии и двух оценок ошибки дает

5,85-108/мл;

Сравнение этих двух оценок ошибки свидетельствует о том, что значительная ошибка вызвана не случайным отбором проб, а какой-то другой причиной. Следует найти источники ошибки и уменьшить их влияние. До тех пор пока это не сделано, необходимо получить ряд независимых разведений и использовать гауссову статистику, поскольку пуассонова оценка ошибки здесь неприменима.

Рассмотрим этот пример еще раз. Допустим, что была засеяна только одна чашка, скажем первая. В этом случае расчет ошибки может быть сделан только по Пуассону. Тогда количество колоний будет составлять 5,34-108±0,23-108, а величина реальной ошибки будет в 4 раза ниже. Поэтому не следует полагаться на статистику Пуассона до тех пор, пока ее использование не будет оправданно для данных условий. Вместо этого можно проводить расчеты для нескольких случаев, измеряя ошибку с помощью статистики Гаусса, как указано выше.

11.5.2. Статистические тесты

Большая часть статистики, изучаемая в элементарных курсах, связана с определением соответствия имеющихся данных гипотезе. Обычно вычисляют вероятность (Р) того, что наблюдаемые отклонения от гипотезы случайны. Если величина Р мала, то гипотеза может быть еще верна, хотя и маловероятна. Статистические тесты обычно проводятся в предположении, что данные подчиняются гауссову распределению. В бактериологии во многих случаях это предположение следует подвергать сомнению, однако в общем статистические методы, если они применимы, могут быть очень полезны.

Среднеквадратичное отклонение, определенное выше, часто путают со среднеквадратичной ошибкой, называемой также среднеквадратичным отклонением среднего. Среднеквадратичное отклонение характеризует отклонение индивидуального измерения от среднего многих измерений. Среднеквадратичная ошибка характеризует насколько близко наблюдаемое среднее к истинному значению среднего, которое определяется в предположении бесконечного числа наблюдений.

Единственный тест, упоминаемый ниже, — это /-тест Стьюдента. Он применяется к разности средних двух групп. Разность делят на среднеквадратичную ошибку для объединенных данных и вычисленное значение сравнивают со значениями в таблицах, получая таким образом величину Р. Для пользования таблицами необходимо знать количество измерений, а также возможность отклонения от среднего в обе стороны или только в одну. Если величина Р очень мала, то гипотезу об идентичности двух популяций можно отвергнуть.

В последние годы был разработан дисперсионный анализ, являющийся ветвью статистики. В настоящее время его можно применять для решения многих проблем; во многих областях он заменяет использовавшиеся ранее более специализированные методы. Сейчас овладение статистическими методами (там, где они применимы) в бактериологии требует значительно меньших затрат труда, чем раньше.

П.5.3. Распространение ошибок

Точность общей оценки зависит от точности измерений ее составляющих. Так, ошибка по Пуассону при подсчете колоний и ошибка при разведении вносят свой вклад в ошибку при определении концентрации бактерий в исходной неразбавленной суспензии. Как правило, дополнительные ошибки только снижают точность измерений. Даже если ошибки на различных этапах компенсируют друг друга, в среднем они увеличивают общую ошибку. Когда ошибки одного измерения не зависят от ошибок другого, общую ошибку можно вычислить с помощью двух правил для «распространения ошибок».

1. Если две величины (х и у) складываются или вычитаются, то среднеквадратичное отклонение (s) составной величины равно

Sx+y = Sx-y ~ VSx2 ~Ь SlA

2. Если две величины умножаются или делятся, то

коэффициент вариации (к.в.) составной величины равен

к.в.я.у = к.в.^ = угк.в.жя+к.в./.

В качестве иллюстрации используем второе правило для оценки общей ошибки счета колоний в чашках, засеянных пробами из пяти последовательных 10-кратных разведений. Если разведения проводили в 5 этапов и при одном 10-кратном разведении ошибка, обусловленная использованием пипетки, характеризуется к.в. = 0,02, то общая ошибка для всех 5 этапов разведения будет равна У~5-0,02. Этот результат получен повторным использованием второго правила. Его следует объединить с ошибкой по Пуассону. Поскольку наилучшая оценка

к.в. для ошибки по Пуассону равна 1/у585>5, общий к.в. определяют следующим образом:

к. в. = У l/585-|-5(0,02)s = У0,001709 + 0,00200"= 6,1%.

Эта ошибка в 6,1% состоит из ошибок, накапливающихся при использовании пипеток (У5-2% =4,47%), и ошибки по Пуассону, равной 4,1 % = 100/У585,5. Объединение их по указанному правилу дает меньшую величину, чем их сумма (4,1+4,47=8,57%), но большую, чем наибольшая ошибка из составляющих.

Из рассмотренного примера следуют два важных экспериментальных вывода. Во-первых, нет необходимости увеличивать точность одного этапа эксперимента, пока существуют источники других сравнимых по величине ошибок. Во-вторых, если операцию необходимо провести много раз, следует подумать о том, как провести ее как можно более точно, и затем не прибегать к статистическим расчетам. В предыдущем разделе, например, мы пренебрегли ошибкой, обусловленной использованием пипетки, потому что предполагалось, что отбор проб пипеткой был выполнен очень точно. Эт