ит так:

А это что такое?

Представьте себе, что такая штука сделана из веревки. Можно ли, не разрывая веревку, перевести ее в простое кольцо (тривиальный узел) или в трилистник, или в восьмерку? Или нельзя? Иными словами, до какого простейшего вида этот узел можно распутать?

С похожей задачей столкнулся еще Александр Македонский, но он, по существу, уклонился от ее решения. Правда, фракийский оракул тоже хорош — подсовывать человеку гордиев узел, чтобы тот его распутывал.

Первым всерьез заинтересовался узлами английский физик и математик П. Тэйт. Это было сравнительно недавно — в 60-х годах прошлого века. Тогда физики (как, впрочем, и сейчас) хотели понять, как устроены простейшие частицы материи. Тогда, как и сейчас, они думали, что частицы могут представлять собой вихри электричества. Как-то в письме к Тэйту Максвелл написал; «А что, если этот вихрь будет заузлен?» И нарисовал трилистник.

8f7 8fa 8tg 8W * 8Zf

Рис. 27. Узлы.

Тэйт имел склонность к абстрактным математич-гским построениям. Он стал думать: какие еще бывают узлы? Вскоре ои совсем забыл о частицах (будто знал, что с ними и через 100 лет не разберутся) и стал просиживать долгие часы с веревкой, завязывая всевозможные узлы. Тэйт составил первую таблицу узлов. В ней он последовательно разместил те узлы, которые смог придумать. В дальнейшем была проведена полная «инвентаризация» всех узлов, имеющих менее десяти пересечений на их проекциях. Таких узлов набралось 84. Часть из них изображена на рис. 27.

Узлы располагают по возрастанию минимального числа пересечений на их проекции. Для трилистника это число равно трем, для восьмерки — четырем. Если есть несколько разных узлов с одинаковым числом пересечений, то они группируются в таблице вместе и каждый получает, кроме обозначения числа пересечений, еще и дополнительный индекс.

Тэйт оказался мудрее того фракийского оракула. Он не стал впутывать в дело посторонних, а заинтересовал проблемой узлов знакомых математиков. Повозившись с узлами лет шестьдесят, математики довольно здорово наловчились распутывать сложные узлы. В 1928 г. они придумали инвариант узла.

Инвариант узла — это такое алгебраическое выражение, значение которого не меняется, как бы вы ни запутывали узел. Умение вычислять инвариант позволяет в принципе распутать любой узел. Достаточно определить инвариант, а затем сравнить его со значениями инвариантов, вычисленными для узлов, вошедших в таблицу. Наиболее удобным инвариантом оказались так называемые полином! i (многочлены) Александера Д (i). Для тривиального узла А (0 = 1. Для трилистника Д (/) = f — t + 1. Для восьмерки Д (t) = t2 — 3t -\- 1 и так далее. Таким образом, каждый узел характеризуется не отдельным числом, а целым алгебраическим выражением, в котором есть некая переменная, не имеющая специального смысла.

Если вы умеете вычислять полином Александера, то довольно быстро убедитесь, что фигура 7 это на самом деле тривиальный узел, только сильно запутанный. Возможно, вы этого делать не умеете, и придется повозиться, чтобы в этом убедиться. Или вы должны будете мне просто поверить.

Узлы в полимерах

«Все это, конечно, очень мило, — скажете вы. — И даже довольно занимательно. Но какое это имеет отношение к «самой главной молекуле»?» Прошу прощения, я действительно немного увлекся.

Идею завязать какую-нибудь молекулу в узел стали всерьез обсуждать в начале 60-х годов. Наверное, раньше об этом тоже говорили, но в шутку. Просто к указанному времени появились люди, для которых это перестало казаться смешным. Речь идет, разумеется, об истинном узле — трилистнике, восьмерке или более сложном. То, что молекулы могут образовать тривиальные узлы, то есть быть замкнутыми, известно со времен Кекуле. Но попробуйте завязать бензол в узел. Ясно, что это невозможно—его кольцо имеет слишком маленькую дырку. Да и потом, как его завяжешь? Ведь молекулу не возьмешь руками за концы, как кусок веревки. Можно поступить иначе. Сделать концы молекул «липкими». Тогда можно надеяться, что при случайном сближении концов в молекуле возникнет узел.

Для того чтобы молекула завязывалась в узел, она должна быть достаточно длинной. Но какой все-таки должна быть ее длина? Так возникает вопрос, на который не просто ответить и который в более общем виде формулируется следующим образом: какова вероятность того, что при замыкании цепи, состоящей из п сегментов, возникнет нетривиальный узел?

Речь идет о сегментах, а не об атомах и даже не о мономерных звеньях, потому что разумно говорить о некоторой идеализированной цепи, в которой под сегментом понимается более или менее прямолинейный отрезок. В жестких полимерных цепях в этот отрезок входит очень много атомов и даже много мономерных звеньев. Так называемая свободно-сочлененная цепь, с помощью которой теоретики моделируют реальные полимерные молекулы (хотя эта модель, как и всякая модель вообще, имеет ограниченную область применения, в чем терпеливый читатель сможет еще убедиться), выглядит примерно так:

Узнаете? Да это же траектория движения абсолютно пьяного человека, о котором шла речь в главе 3. Я нарисовал плоский аналог незамкнутой полимерной цепи из 10 сегментов. Кружочки между сегментами означают шарниры. Представьте теперь, что вы заставляете эту цепь случайно замыкаться в трехмерном пространстве. (На плоскости, разумеется, вообще никаких узлов быть не может. ИнтеНО

ресно, что в четырехмерном пространстве узлов тоже не бывает. Они возникают только в пространстве трех измерений.) Итак, свободно-сочлененная цепь случайно замыкается. Это происходит много раз.

Сколько же получится при этом нетривиальных узлов? Их доля и будет мерой вероятности образования узлов. Но не пытайтесь угадать эту вероятность. Вам это не удастся! Интуиция здесь не поможет. Около десяти лет назад этот вопрос превратился в навязчивую идею у меня и у моих товарищей по работе — В. В. Аншелевича, А. В. Вологодского и А. В. Лукашина. Мы тогда еще ничего не знали ни о Тэйте с его таблицей узлов, ни о существовании полиномов Александера.

Мы проводили часы в беседах о том, как бы оценить эту вероятность. Например, всерьез обсуждали такой проект. Построить из чего-нибудь большую кубическую (или еще какую-нибудь) решетку. Взять веревку и пропускать ее по ребрам решетки. Направление в каждом узле решетки разыгрывать с помощью обыкновенной игральной кости. Сделать так, чтобы траектория веревки всегда получалась замкнутой (как этого добиться, можно придумать). Замкнув концы веревки, снять ее с решетки и распутывать, чтобы узнать, получился ли узел, а если получился, то какой.

От реализации проекта нас удерживало только то, что мы не знали, как снимать веревочное кольцо с решетки. Но теперь мы знаем, что, даже и преодолей мы эту трудность (например, можно было бы сделать решетку разборной), остаток своих дней мы провели бы, лазая по этой дурацкой конструкции. И все равно ничего хорошего из этого бы не вышло (почему — об этом чуть ниже).

К счастью, очень вовремя иам в руки попала книжка Р. Кроуэлла и Р. Фокса «Введение в теорию узлов» (М.: Мир, 1967), откуда мы узнали о полиномах Александера, о таблице узлов и о многом другом. Тогда стало ясно, как действовать. Вместо того, чтобы вязать узлы самим, мы заставили это делать вычислительную машину. Оказалось возможным также научить машину вычислять полиномы Александера и тем самым научить ее распутывать узлы.

Что же в итоге получилось?

Оказалось, что вероятность образования узла зависит не только от числа сегментов в цепи. Именно поэтому я вам и не советовал заниматься угадыванием. Если цепь

Ш

очень гибкая, то есть в каждом сегменте содержится очень мало атомов, то вероятность образования узла ничтожно мала. Даже при п = 100 узел встречается один раз на десять тысяч случаев. Вы видите, что когда я говорил о грозившей нам участи бесславно провести остаток жизни, это были не пустые слова. Теперь становится понятным, почему были обречены на неудачу попытки синтезировать узел способом случайного замыкания простых полимерных (углеводородных) цепей, как это предлагали делать

Р

0/;

V0,0

некоторые химики. Эти цепи слишком гибкие, и в них узлы практически не могут образоваться.

Другое дело — очень жесткие цепи, у которых в сегмент входит много мономерных звеньев. Для таких цепей вероятность образования узлов гораздо больше. Результаты расчетов этой вероятности приведены на рис. 28. Вы видите, что вероятность образования нетривиального узла растет почти линейно с ростом числа сегментов и при п = 200 приближается к 0,5. По мере удлинения цепи начинаются, конечно, отклонения от линейной зависимости (ведь вероятность не может стать больше единицы), но рассчитать дальнейший ход кривой трудно даже с помощью современных ЭВМ.

Ясно, что чем сложнее узел, тем меньше шансов его получить. Это видно из таблицы, в которой показано распределение (в процентах) разных узлов.

10 98 г О 0 0

10 S3 10 1 3 3

40 75 12 5 3 4

60 66 15 4 6 If

80 68 15 6 6 17

100 53 14 3 6 19

по 68 9 г 6 15

140 55 8 см 9 23

то 46 10 5 Со 31

Синтезировать узел чисто химическим путем пока не удалось. Вот уже много лет это пытается сделать западногерманский химик Г. Шилл, один из авторов направленного синтеза катенанов. Катенан это вот что:

или вот:

Похоже на цепочку от карманных часов. Математики называют такие конструкции зацеплениями. Впрочем, эти самые зацепления вам уже порядком надоели, должно быть, в предыдущей главе.

О синтезе катенанов и о проблеме синтеза узлов Шилл написал книжку «Катенаны, ротаксаны и узлы» (М.: Мир, 1973). Вы хотите узнать, что такое ротаксан? Если очень интересно — прочтете в книжке. Но фраза в предисловии к этой книге (стр. 6): «Удалось зарегистрировать циклическую молекулу РНК с узлом», оказалась несколько преждевременной.

Завязать молекулу в узел удалось лишь в 1976 г. И не

РНК, а ДНК.

Узлы из одноннтевой ДНК

Уже в следующем году после публикации наших расчетов о вероятности образования узлов в полимерных цепях удалось завязать ДНК в узел. Дж. Уонг и его сотрудники обработали откр