Биологический каталог




Гиперцикл. Принципы организации макромолекул

Автор М.Эйген, П.Шустер

ической репликаций и трансляции. В части В показано, как можно представить себе такую систему.

Связи между L и Ег- должны быть такими, чтобы могло произойти замыкание цепи обратной связи (рис. 37). Математически циклическая симметрия вводится тем, что предполагается образование специфического комплекса между ферментом Е/ и по-ленуклеотидом Ь, причем / = /+ 1 — n8in.

Кинетика синтеза полинуклеотидов описывается уравнением Михаэлнса — Меитен, хотя мы ие вводим предположения о том, что концентрации комплексов .пренебрежимо малы:

I, + Е, I,E/S 1,Е, + ? vj^Mj I, + Щ. (73)

Четыре нуклеозидтрифосфата и их стехиометрические коэффициенты обозначаются соответственно через М\ и vj[, К = 1, 2, 3, 4. Введем обозначения 2? для концентрации комплекса 1*Е/, JC J, у0. — для полной концентрации полипептидов (Е/) и полинуклеотидов (Ij), х;, у%— для концентраций этих полимеров в свободном состоянии. Согласно закону сохранения масс

x°l=x! + zi> у\*=У{ + г1* (74)

При быстром установлении равновесной концентраций комплекса концентрация zi связана с полными концентрациями дс° и #J

('-V-W+y+следующим образом:

у\ + х) + Кг

Предполагается, что синтез полипептидов является неспецифич-йым, т. е. трансляция полинуклеотида h осуществляется с помощью общего «аппарата»:

Символами М% и обозначены активированные аминокислоты

и их стехиометрические коэффициенты соответственно. Селекционные ограничения можно ввести посредством независимой регуляции полных концентраций обоих типов биополимеров (I и Е). По аналогии с ограничением постоянной организации будем Поддерживать обе суммы концентраций постоянными:

Е (77)

k h

Яри всех этих условиях наша динамическая система, состоящая из 2я связанных дифференциальных уравнений, приобретает еле*

дующий вид:

(78)

п.

Нам достаточно обсудить два предельных случая: 1. При достаточно низких концентрациях концентрация Zq комплекса 1(-Е/ становится пропорциональной произведению концентраций полинуклеотида и полипептида:

у0., х)

Если далее предположить, что процесс трансляции, реакция первого порядка, является быстрым по сравнению с репликацией, реакцией второго порядка (это допущение вполне обосновано, по крайней мере для низких концентраций полинуклеотидов), то концентрация полипептидов примет стационарное значение, которое можно включить в параметры скорости. Тогда образование полинуклеотидов будет описываться системой дифференциальных уравнений, типичной для элементарного гиперцикла размерности /г.

2. При высоких концентрациях г\ становится равной меньшей из двух переменных 1:

z, = inf(j,°, *°).

(80)

Соответственно мы получаем две возможные предельные ситуации:

KtKt < х]

(81) (82)

i ixif = jnfimum — математический термин, обозначающий минимальный член данного множества.

В первом из этих двух случаев полинуклеотиды ведут себя как независимые конкуренты, тогда как полипептиды — из-за того что у{ — у\ — z. 0 — остаются в стационарных концентрациях. В естественных условиях, когда такие ограничения, как «постоянные полные концентрации», обычно не выполняются — по крайней мере, для предполагаемых малых значений у,— рост концентрации полинуклео-тидов в результате привел бы к обращению концентрационных отношений у: х и, следовательно, к выполнению условия (82). Вследствие этого начинают выполняться аппроксимации

(83)

что приводит к 2я-членному каталитическому циклу, но не к гиперциклу. Итак, в условиях насыщения, т. е. при высоких концентрациях компонентов, гиперцикл перестает вести себя как система с нелинейной скоростью роста. Как объединенная система, он имитирует свойства простого каталитического цикла, который эквивалентен автокатализатору или самовоспроизводящейся единице.

IX.3. Численные решения

Дифференциальные уравнения для каталитических гиперциклов с учетом в явном виде процесса образования комплекса между полинуклеотидами и полипептидами трудно исследовать аналитическими методами из-за иррациональности соответствующих выражений. В этих случаях численное интегрирование сопряжено с большими затратами времени, но тем не менее оно является единственным источником информации о свойствах этих динамических систем. Для иллюстрации динамики полинуклеотидно-поли-пептидных гиперциклов мы приведем графики решений, полученных с помощью ЭВМ, а также фазовые траектории. По сравнению с элементарными гиперциклами полинуклеотидно-полипептидные системы содержат новый класс параметров, а именно константы ассоциации комплексов Ki- Как и следовало ожидать из различий в кинетическом поведении при нижнем и верхнем концентрационных пределах, константы равновесия оказывают решающее влияние на динамические свойства системы. С целью систематического исследования мы уменьшим число независимых параметров. Допущения здесь будут в основном те же, что и для элементарных гиперциклов: все константы скоростей для репликации полинуклеотидов —fi = f2= • • • = fn~f, Для их трансляции в полипептиды —ki = k2 = ... = kn = k, а также все константы ассоциации —К1—К2=...=Кп=К предполагаются равными. Затем мы исследуем влияние К на свойства динамической системы при фиксированных значениях / и k для постоянного множества начальных концентраций. Для гиперциклов размерности п^4 интегральные кривые через достаточно большое время приближаются к устойчивому стационарному состоянию. Отдельные концентрации могут испытывать затухающие колебания. Динамика этих систем в сущности такая же, как и для гиперциклов с большими значениями п и малыми константами равновесия.

Динамика гиперциклов большей размерности сложнее. Асимптотическое поведение системы изменяется с увеличением константы равновесия К. Ниже определенного критического значения /(Кр система сходится к устойчивым стационарным состояниям, тогда как при ббльших значениях К(К> Ккр) наблюдаются предельные циклы. По виду интегральных кривых и траекторий мы различаем четыре случая. Рассмотрим их в порядке увеличения константы равновесия К1. При малых значениях К динамическое поведение качественно такое же, как и для гиперциклов меньшей размерности. Интегральные кривые обнаруживают сильно затухающие колебания (рис. 38), а траектории быстро сходятся по спирали в центр — устойчивое стационарное состояние (рис. 39).

2. Общий тип динамического поведения в принципе такой же, как и в случае 1. Однако колебания затухают теперь слабо и приближение к стационарному состоянию становится крайне медленным (рис. 40,Л, Б). Эта ситуация совершенно не похожа на случай 1, потому что члены, описывающие

затухание, не появляются при исследовании нормальных мод, а требуют учета нелинейных вкладов. Феноменологически этот .факт проявляется в том, что сначала амплитуды колебаний (почти) постоянны. Такая ситуация возникает, когда константа равновесия К немного меньше критического значения /СКр, т .е.. К = Ккр — 8К3. При значениях К, немного превышающих критическую константу равновесия (К = Ккр + б/С), наблюдается интересное явление. Поведение динамической системы сначала во многом похоже на случай 2. Отдельные концентрации колеблются с относительно малыми амплитудами, но в противоположность случаю 2 амплитуды вначале немного растут. Однако вслед за этой фазой синусоидальных колебаний волны концентрации резко меняют свою форму и частоту (рис. 40, В, Г), a затем становятся очень похожими на прямоугольные импульсы, с которыми мы встречались при рассмотрении основных гиперциклов

Рис. 39. Траектория динамической системы, соответствующей гй* перциклу с трансляцией. Размерность 2X5, К = 1,0; начальные условия: Ы0)= 5,0; Уг{Ъ) = УгЩ «= уА(0) =*= у5(0) = 0,5; х,(0) = = ^(0) = АГ3(0) = хА(0) = лгб(0) = 1,0. Л. Проекция траекторий на плоскость {уь у2) — на плоскость концентраций полинуклеотидов Ii и 12. Б. Проекция на плоскость дс,) — на плоскость концентраций полинуклеотида Ii и его продукта трансляции — фермента Ei, Отметим, что концентрация Ei примерно пропорциональна концентрации 1\, т. е. условие упрощения гиперцикла с трансляцией выполняется с хорошей точностью. В. Проекция на плоскость (хь у2) — на плоскость концентраций полипептида Е, н полинуклеотида Ь, образование которого катализируется Е]. Г. Проекция на плоскость (#ь хг)—на плоскость концентраций полипептидов Ej и Е2. Отметим, что К снова меньше критического значения для бифуркации Хопфа, и траектория стремится к центральной особой точке.

высокой размерности. Наконец, динамическая система приближается к предельному циклу.

4. При больших значениях К отдельные концентрации колеблются с возрастающей амплитудой, и

динамическая система неуклонно приближается к

предельному циклу (рис. 40, Д, ?). Такой тип изменения динамического поведения при непрерывном изменении параметра известен из литературы как бифуркация Хопфа [58]. Характерное замедление сходимости к асимптотическому решению, обнаруженное

в случаях 2 и 3, было описано также и для других динамических систем; его обычно называют «критическим замедлением» при бифуркации Хопфа. В случае гиперциклов «замедление» вблизи критического

значения К становится более выраженным с увеличением п. В пятичленном цикле (я—5) явления,

соответствующие случаю 3, едва заметны. С другой

стороны, каталитический цикл при п—\0 имеет гораздо более длительный начальный период (о котором говорилось в п. 3), чем шестичленная система

(рис. 41). Начальная фаза синусоидальных колебаний подобна метастабильному колебательному состоянию. Переход к конечному предельному циклу<

Рис. 40. Траектории динамических систем, соответствующих гиперциклам с трансляцией. А и Б. Размерность 2X5, К = 1,1; начальные условия: #,(0)=5,0; г/2(0) = (0) = (0) = (0) = «= 0,5; #i(0) = лт2(0) — #з(0) = *ч(0) — #5 = 1,0; проекции на плоскости (I,, 12) и (Ii, EI) соответственно; значение константы равновесия К немного ниже уровня бифуркации Хопфа, так что наблюдается очень медленная сходимость к устойчивой центральной особой точке. В и Г. Размерность 2X6, К = 0,2784; начальные условия

страница 24
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

Скачать книгу " Гиперцикл. Принципы организации макромолекул" (2.15Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [обратная связь]

п»ї
Rambler's Top100 Химический каталог

Copyright © 2009
(28.06.2017)